Kalkulus Contoh

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Langkah 1

Tulis $y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ sebagai fungsi.

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Langkah 2.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{π}{12}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π}{12} (x - 2)$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

Langkah 2.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Langkah 2.2.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

Langkah 2.2.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Langkah 2.2.8

Kalikan $\frac{π}{12}$ dengan $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

Langkah 2.2.9

Gabungkan $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ dan $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Langkah 2.2.10

Gabungkan $5$ dan $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

Langkah 2.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gabungkan $\frac{π}{12}$ dan $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.5

Gabungkan $\frac{π}{12}$ dan $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Langkah 2.3.2.6

Tambahkan $0$ dan $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $\frac{5 π}{12}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ terhadap $x$ adalah $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan $\frac{5 π}{12}$ dan $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 3.3.3

Karena $\frac{π}{12}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π x}{12}$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 3.3.5

Kalikan $\frac{π}{12}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Langkah 3.3.6

Karena $- \frac{π}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{π}{6}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

Langkah 3.3.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Tambahkan $\frac{π}{12}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

Langkah 3.3.7.2

Kalikan $\frac{π}{12}$ dengan $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

Langkah 3.4

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Langkah 3.5

Naikkan $π$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Langkah 3.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Langkah 3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Langkah 3.8

Kalikan $12$ dengan $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

Langkah 5

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Langkah 6

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi setiap suku pada $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ dengan $5 π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Bagilah setiap suku di $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ dengan $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Langkah 6.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Langkah 6.1.2.2.2

Bagilah $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ dengan $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

Langkah 6.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

Langkah 6.1.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

Langkah 6.1.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Langkah 6.1.3.2

Bagilah $0$ dengan $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Langkah 6.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Langkah 6.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tambahkan $\frac{π}{6}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.4.2

Untuk menuliskan $\frac{π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.4.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.4.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Langkah 6.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Langkah 6.4.5.2

Tambahkan $3 π$ dan $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

Langkah 6.4.6

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.1

Faktorkan $2$ dari $4 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Langkah 6.4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Langkah 6.4.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Langkah 6.4.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.5

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1

Sederhanakan $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Sederhanakan $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 6.6.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Langkah 6.6.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $2 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Langkah 6.6.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Langkah 6.6.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 4 \cdot 2$

Langkah 6.6.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = 8$

Langkah 6.7

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 6.8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.8.1.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.8.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 6.8.1.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 6.8.1.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Langkah 6.8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Tambahkan $\frac{π}{6}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.8.2.2

Untuk menuliskan $\frac{3 π}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.8.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.8.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Langkah 6.8.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Langkah 6.8.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

Langkah 6.8.2.5.2

Tambahkan $9 π$ dan $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

Langkah 6.8.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $10 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Langkah 6.8.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Langkah 6.8.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Langkah 6.8.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.1.1

Sederhanakan $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.2.1

Sederhanakan $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Langkah 6.8.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

Langkah 6.8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.2.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Langkah 6.8.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Langkah 6.8.4.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 4 \cdot 5$

Langkah 6.8.4.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$x = 20$

Langkah 6.9

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

Langkah 7

Evaluasi turunan kedua pada $x = 8$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $4$ dari $π (8)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.2.2

Untuk menuliskan $\frac{2 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Kalikan $\frac{2 π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 8.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Langkah 8.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

Langkah 8.2.5.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

Langkah 8.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

Langkah 8.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Langkah 8.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Langkah 8.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

Langkah 8.2.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

Langkah 8.2.8

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

Langkah 9

$x = 8$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 8$ adalah maksimum lokal

Langkah 10

Tentukan nilai y ketika $x = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

Langkah 10.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

Langkah 10.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

Langkah 10.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

Langkah 10.2.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $5$ .

$f (8) = 3$

Langkah 10.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = 20$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Faktorkan $4$ dari $π (20)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $\frac{5 π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Kalikan $\frac{5 π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

Langkah 12.2.5.2

Kurangi $π$ dengan $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

Langkah 12.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

Langkah 12.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

Langkah 12.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

Langkah 12.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

Langkah 12.2.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

Langkah 12.2.8

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

Langkah 12.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

Langkah 12.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Langkah 12.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

Langkah 12.4

Kalikan $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

Langkah 12.4.2

Kalikan $\frac{5 π^{2}}{144}$ dengan $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

Langkah 13

$x = 20$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 20$ adalah minimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $20$ pada pernyataan tersebut.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Kurangi $2$ dengan $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

Langkah 14.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

Langkah 14.2.1.2.2

Faktorkan $6$ dari $18$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Langkah 14.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Langkah 14.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Langkah 14.2.1.3

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Langkah 14.2.1.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Langkah 14.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 14.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 14.2.1.7

Kalikan $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

Langkah 14.2.1.7.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

Langkah 14.2.2

Kurangi $5$ dengan $- 2$ .

$f (20) = - 7$

Langkah 14.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 7$ .

$y = - 7$

Langkah 15

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ adalah maksimum lokal

$(20, - 7)$ adalah minimum lokal

Langkah 16