Kalkulus Contoh

$y = 2 \sqrt{3} x + 4 \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $y = 2 \sqrt{3} x + 4 \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \sqrt{3} x + 4 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \sqrt{3} x + 4 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2 \sqrt{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sqrt{3} x$ terhadap $x$ adalah $2 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \sqrt{3} + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \sqrt{3} + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 \sqrt{3} + 4 (- \sin (x))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$2 \sqrt{3} - 4 \sin (x)$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- 4 \sin (x) + 2 \sqrt{3}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 \sin (x) + 2 \sqrt{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sqrt{3})$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \sqrt{3})$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \sqrt{3})$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2 \sqrt{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sqrt{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (x) + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $- 4 \cos (x)$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 4 \sin (x) + 2 \sqrt{3} = 0$

Langkah 5

Kurangkan $2 \sqrt{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 \sin (x) = - 2 \sqrt{3}$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $- 4 \sin (x) = - 2 \sqrt{3}$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \sin (x) = - 2 \sqrt{3}$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 2 \sqrt{3}}{- 4}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 2 \sqrt{3}}{- 4}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{- 4}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 2 \sqrt{3}$ .

$\sin (x) = \frac{- 2 (\sqrt{3})}{- 4}$

Langkah 6.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 4$ .

$\sin (x) = \frac{- 2 (\sqrt{3})}{- 2 (2)}$

Langkah 6.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (x) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{- 2 \cdot 2}$

Langkah 6.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 7

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Langkah 9

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{3}$

Langkah 10

Sederhanakan $π - \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 10.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Langkah 10.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Langkah 10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Langkah 10.3.2

Kurangi $π$ dengan $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{1}{2}$

Langkah 13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Langkah 13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2$

Langkah 14

$x = \frac{π}{3}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{3}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Kalikan $2 \sqrt{3} (\frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{π}{3}$ dan $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π \cdot 2}{3} \cdot \sqrt{3} + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 15.2.1.1.2

Gabungkan $\frac{π \cdot 2}{3}$ dan $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π \cdot (2 \sqrt{3})}{3} + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 15.2.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 \cdot (π \sqrt{3})}{3} + 4 \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 15.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 15.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2 (2) (\frac{1}{2})$

Langkah 15.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2}))$

Langkah 15.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$

Langkah 15.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$ .

$y = \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{2 π}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Langkah 17.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 17.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 17.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- 1}{2}$

Langkah 17.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{- 1}{2}$

Langkah 17.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \cdot - 1$

Langkah 17.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2$

Langkah 18

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{2 π}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2 π}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 4 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Kalikan $2 \sqrt{3} (\frac{2 π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{2 π}{3}$ dan $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π \cdot 2}{3} \cdot \sqrt{3} + 4 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 19.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π}{3} \cdot \sqrt{3} + 4 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 19.2.1.1.3

Gabungkan $\frac{4 π}{3}$ dan $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cos (\frac{2 π}{3})$

Langkah 19.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} + 4 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Langkah 19.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 19.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} + 4 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 19.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} + 2 (2) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 19.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 19.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot - 1$

Langkah 19.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} - 2$

Langkah 19.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4 π \sqrt{3}}{3} - 2$ .

$y = \frac{4 π \sqrt{3}}{3} - 2$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \sqrt{3} x + 4 \cos (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 2)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π \sqrt{3}}{3} - 2)$ adalah minimum lokal

Langkah 21