Kalkulus Contoh

$y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 1

Tulis $y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \csc (x)]$

Langkah 2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \csc (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Langkah 2.3

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc (x) \cot (x))$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 (\csc (x) \cot (x))$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \cot (x) \csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 3.3

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 3.4

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 3.5

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 3.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 3.8

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Langkah 3.9

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Langkah 3.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Langkah 3.11

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Langkah 3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Langkah 3.12.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Langkah 3.12.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) \cot^{2} (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Langkah 3.12.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 2 \cot^{2} (x) \csc (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Langkah 6

Atur $\cot (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cot (x)$ sama dengan $0$ .

$\cot (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cot (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $arccot (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.3

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan $π + \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Langkah 6.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Langkah 6.2.4.3.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 7

Atur $\csc (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\csc (x)$ sama dengan $0$ .

$\csc (x) = 0$

Langkah 7.2

Jangkauan dari kosekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.4

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 10.1.6

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

Langkah 10.1.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 + 2 \cdot 1$

Langkah 10.1.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + 2$

Langkah 10.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$2$

Langkah 11

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Langkah 12.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Langkah 12.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

Langkah 12.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kotangen negatif di kuadran keempat.

$2 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$2 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.5

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.6

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.7

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.8

Kalikan $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 \cdot - 1 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.8.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14.1.9

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$0 + 2 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Langkah 14.1.10

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Langkah 14.1.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

Langkah 14.1.12

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Langkah 14.1.13

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2$

Langkah 14.2

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- 2$

Langkah 15

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{3 π}{2})})$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})})$

Langkah 16.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1 \cdot 1})$

Langkah 16.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1})$

Langkah 16.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.2.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Langkah 16.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ adalah minimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, - 2)$ adalah maksimum lokal

Langkah 18