Kalkulus Contoh

$y = 4 x - 6 \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $y = 4 x - 6 \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 6 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Langkah 2.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 - \frac{6}{x}$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{6}{x} + 4$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{6}{x} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{6}{x}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 3.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{2}}) + 0$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}} + 0$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $\frac{6}{x^{2}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 6 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 5.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 5.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Langkah 5.1.3.3

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Langkah 5.1.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 - \frac{6}{x}$

Langkah 5.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{6}{x} + 4$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{6}{x} + 4$ .

$- \frac{6}{x} + 4$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{6}{x} + 4 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{6}{x} = - 4$

Langkah 6.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, 1$

Langkah 6.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 6.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{6}{x} = - 4$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{6}{x} = - 4$ dengan $x$ .

$- \frac{6}{x} x = - 4 x$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{6}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Langkah 6.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Langkah 6.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 6 = - 4 x$

Langkah 6.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 4 x = - 6$ .

$- 4 x = - 6$

Langkah 6.5.2

Bagi setiap suku pada $- 4 x = - 6$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x = - 6$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Langkah 6.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Langkah 6.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 4}$

Langkah 6.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.3.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 6$ .

$x = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Langkah 6.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Langkah 6.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Langkah 6.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{2}$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur penyebut dalam $\frac{6}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \frac{3}{2}$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{6}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 10.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{2^{2}}}$

Langkah 10.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{4}}$

Langkah 10.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$6 (\frac{4}{9})$

Langkah 10.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$3 (2) \frac{4}{9}$

Langkah 10.3.2

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Langkah 10.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Langkah 10.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{4}{3})$

Langkah 10.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3}$

Langkah 10.5

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{8}{3}$

Langkah 11

$x = \frac{3}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Langkah 12.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Langkah 12.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 3 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Langkah 12.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Langkah 12.2.1.3

Sederhanakan $- 6 \ln (\frac{3}{2})$ dengan memindahkan $6$ ke dalam logaritma.

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln ({(\frac{3}{2})}^{6})$

Langkah 12.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{3^{6}}{2^{6}})$

Langkah 12.2.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{2^{6}})$

Langkah 12.2.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Langkah 12.2.2

Jawaban akhirnya adalah $6 - \ln (\frac{729}{64})$ .

$y = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$ .

$(\frac{3}{2}, 6 - \ln (\frac{729}{64}))$ adalah minimum lokal

Langkah 14