Kalkulus Contoh

$y = 4 \sec (x)$

Langkah 1

Tulis $y = 4 \sec (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 4 \sec (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sec (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \sec (x) \tan (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sec (x) \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 3.3

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 3.4

Kalikan $\sec (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $\sec (x)$ dengan $\sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Langkah 3.5

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Langkah 3.6

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Langkah 3.7

Naikkan $\tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Langkah 3.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (x) + 4 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Langkah 3.10.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (x) \sec (x) + 4 \sec^{3} (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 \sec (x) \tan (x) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Langkah 6

Atur $\sec (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\sec (x)$ sama dengan $0$ .

$\sec (x) = 0$

Langkah 6.2

Jangkauan dari sekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Atur $\tan (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\tan (x)$ sama dengan $0$ .

$\tan (x) = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\tan (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (0)$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7.2.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + 0$

Langkah 7.2.4

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$x = π$

Langkah 7.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 \sec (x) \tan (x) = 0$ benar.

$x = 0, π$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \tan^{2} (0) \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Langkah 10.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Langkah 10.1.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Langkah 10.1.4

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 \sec^{3} (0)$

Langkah 10.1.5

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (0)$

Langkah 10.1.6

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$0 + 4 \cdot 1^{3}$

Langkah 10.1.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 + 4 \cdot 1$

Langkah 10.1.8

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$0 + 4$

Langkah 10.2

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$4$

Langkah 11

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 4 \sec (0)$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Langkah 12.2.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f (0) = 4$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$4 \tan^{2} (π) \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran kedua.

$4 {(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$4 {(- 0)}^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.5

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$0 (- \sec (0)) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.7

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.8

Kalikan $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 \cdot - 1 + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.8.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (π)$

Langkah 14.1.9

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$0 + 4 {(- \sec (0))}^{3}$

Langkah 14.1.10

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$0 + 4 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Langkah 14.1.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + 4 {(- 1)}^{3}$

Langkah 14.1.12

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$0 + 4 \cdot - 1$

Langkah 14.1.13

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$0 - 4$

Langkah 14.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$- 4$

Langkah 15

$x = π$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 4 \sec (π)$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 4 (- \sec (0))$

Langkah 16.2.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.2.3

Kalikan $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 4 \cdot - 1$

Langkah 16.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f (π) = - 4$

Langkah 16.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$y = - 4$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 4 \sec (x)$ .

$(0, 4)$ adalah minimum lokal

$(π, - 4)$ adalah maksimum lokal

Langkah 18