Kalkulus Contoh

$y = \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $y = \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \cos (x)$

Langkah 2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \sin (x) = 0$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- \sin (x) = 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x) = 0$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.2.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 8

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 9

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \cos (0)$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 12.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 13

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 14

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \cos (0)$

Langkah 14.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 14.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 15

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \cos (π)$

Langkah 16

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- - \cos (0)$

Langkah 16.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Langkah 16.3

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- - 1$

Langkah 16.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1$

Langkah 17

$x = π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 18

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = \cos (π)$

Langkah 18.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = - \cos (0)$

Langkah 18.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Langkah 18.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = - 1$

Langkah 18.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 19

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \cos (x)$ .

$(0, 1)$ adalah maksimum lokal

$(π, - 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 20