Kalkulus Contoh

$y = - \cos (4 x - π)$

Langkah 1

Tulis $y = - \cos (4 x - π)$ sebagai fungsi.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (4 x - π)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 4 x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x - π$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x - π$ .

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\sin (4 x - π)$ dengan $1$ .

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 2.3.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 2.3.6

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

Langkah 2.3.7

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

Langkah 2.3.8.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sin (4 x - π)$ .

$4 \sin (4 x - π)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \sin (4 x - π)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 4 x - π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 3.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 3.3.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

Langkah 3.3.5

Karena $- π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $4 \sin (4 x - π) = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $4 \sin (4 x - π) = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\sin (4 x - π)$ dengan $1$ .

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$\sin (4 x - π) = 0$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$4 x - π = \arcsin (0)$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$4 x - π = 0$

Langkah 8

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x = π$

Langkah 9

Bagi setiap suku pada $4 x = π$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagilah setiap suku di $4 x = π$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 10

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$4 x - π = π - 0$

Langkah 11

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$4 x - π = π$

Langkah 11.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x = π + π$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$4 x = 2 π$

Langkah 11.3

Bagi setiap suku pada $4 x = 2 π$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 2 π$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Langkah 11.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Langkah 11.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Langkah 11.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 11.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 12

Penyelesaian untuk persamaan $4 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

Langkah 14.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$16 \cos (π - π)$

Langkah 14.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$16 \cos (0)$

Langkah 14.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$16 \cdot 1$

Langkah 14.4

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$16$

Langkah 15

$x = \frac{π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Langkah 16.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

Langkah 16.2.2

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

Langkah 16.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Langkah 16.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Langkah 16.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

Langkah 18.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

Langkah 18.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$16 \cos (2 π - π)$

Langkah 18.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$16 \cos (π)$

Langkah 18.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$16 (- \cos (0))$

Langkah 18.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 18.5

Kalikan $16 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$16 \cdot - 1$

Langkah 18.5.2

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$- 16$

Langkah 19

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

Langkah 20.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

Langkah 20.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

Langkah 20.2.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

Langkah 20.2.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Langkah 20.2.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 20.2.5

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Langkah 20.2.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Langkah 20.2.6

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 21

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - \cos (4 x - π)$ .

$(\frac{π}{4}, - 1)$ adalah minimum lokal

$(\frac{π}{2}, 1)$ adalah maksimum lokal

Langkah 22