Kalkulus Contoh

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Langkah 1

Tulis $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ sebagai fungsi.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 250$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ terhadap $x$ adalah $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} + 25}$ sebagai ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} + 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Langkah 2.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 25$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Langkah 2.2.6

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Langkah 2.2.7

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Langkah 2.2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Langkah 2.2.9

Kalikan $- 2$ dengan $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Langkah 2.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gabungkan $500$ dan $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ dan $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $500$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 25$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.7

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.8

Kalikan ${(x^{2} + 25)}^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.9

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.10

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.11

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.16

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.16.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.16.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.17

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.17.1

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari ${(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.17.2

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.17.3

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.18

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.19

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.19.1

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.19.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.20

Gabungkan $500$ dan $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $500$ dengan $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Langkah 3.4.2.3

Tambahkan $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $500$ dari $- 1500 x^{2} + 12500$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $500$ dari $- 1500 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.3.2

Faktorkan $500$ dari $12500$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.3.3

Faktorkan $500$ dari $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali $25$ sebagai $- 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali $- (3 x^{2} - 25)$ sebagai $- 1 (3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 3.4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Langkah 5.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Karena $- 250$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ terhadap $x$ adalah $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Langkah 5.1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} + 25}$ sebagai ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Langkah 5.1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} + 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Langkah 5.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Langkah 5.1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Langkah 5.1.2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 25$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Langkah 5.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Langkah 5.1.2.6

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Langkah 5.1.2.7

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Langkah 5.1.2.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Langkah 5.1.2.9

Kalikan $- 2$ dengan $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Langkah 5.1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Gabungkan $500$ dan $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Langkah 5.1.3.2.2

Gabungkan $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ dan $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Langkah 5.1.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Langkah 6.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 5, - 1.47798871$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 5$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 10.1.2

Kalikan $3$ dengan $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 10.1.3

Kurangi $25$ dengan $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $25$ dan $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

Langkah 10.2.3

Naikkan $50$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

Langkah 10.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $500$ dengan $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

Langkah 10.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $25000$ dan $125000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Faktorkan $25000$ dari $25000$ .

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

Langkah 10.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.2.1

Faktorkan $25000$ dari $125000$ .

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Langkah 10.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Langkah 10.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{5}$

Langkah 11

$x = - 5$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 5$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

Langkah 12.2.1.1.2

Tambahkan $25$ dan $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

Langkah 12.2.1.2

Bagilah $250$ dengan $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Langkah 12.2.2

Kurangi $5$ dengan $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 10$ .

$y = - 10$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1.47798871$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Naikkan $- 1.47798871$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 14.1.2

Kalikan $3$ dengan $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 14.1.3

Kurangi $25$ dengan $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Langkah 14.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Naikkan $- 1.47798871$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $2.18445063$ dan $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

Langkah 14.2.3

Naikkan $27.18445063$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

Langkah 14.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $500$ dengan $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

Langkah 14.3.2

Bagilah $- 9223.32404202$ dengan $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

Langkah 14.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

Langkah 15

$x = - 1.47798871$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 1.47798871$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = - 1.47798871$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.47798871$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1.1

Naikkan $- 1.47798871$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

Langkah 16.2.1.1.2

Tambahkan $2.18445063$ dan $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

Langkah 16.2.1.2

Bagilah $250$ dengan $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

Langkah 16.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

Langkah 16.2.2

Kurangi $9.19643377$ dengan $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ adalah maksimum lokal

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ adalah minimum lokal

Langkah 18