Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x}$ , $[0, 8]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 8]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (\int_{0}^{8} 5 \sqrt[3]{x} d x)$

Langkah 5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Langkah 6

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}))$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8}))$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ pada $8$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.5

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $48$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.6.1

Faktorkan $4$ dari $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.6.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.6.2.4

Bagilah $12$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.7

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Langkah 8.2.2.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Langkah 8.2.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Langkah 8.2.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4}))$

Langkah 8.2.2.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4}))$

Langkah 8.2.2.11

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{4}))$

Langkah 8.2.2.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.12.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 (0)}{4}))$

Langkah 8.2.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.12.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Langkah 8.2.2.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Langkah 8.2.2.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{1}))$

Langkah 8.2.2.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - 0))$

Langkah 8.2.2.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 + 0))$

Langkah 8.2.2.14

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \cdot 12)$

Langkah 8.2.2.15

Kalikan $5$ dengan $12$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (60)$

Langkah 9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 + 0} \cdot 60$

Langkah 9.2

Tambahkan $8$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot 60$

Langkah 10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 (2)} \cdot 60$

Langkah 10.1.2

Faktorkan $4$ dari $60$ .

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Langkah 10.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Langkah 10.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 15$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $15$ .

$A (x) = \frac{15}{2}$

Langkah 11