Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9$ , $(- 3, 5)$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 3, 5]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \int_{- 3}^{5} x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 9

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 6$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 12

Karena $- 48$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 48$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Langkah 15

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Langkah 16

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $5$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 ((\frac{5^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Langkah 16.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $5$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Langkah 16.3

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $5$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Langkah 16.4

Evaluasi $9 x$ pada $5$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625 - 81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.4

Kurangi $81$ dengan $625$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{544}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $544$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.5.1

Faktorkan $4$ dari $544$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 (1)}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{136}{1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.5.2.4

Bagilah $136$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \cdot 136 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.6

Kalikan $2$ dengan $136$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.7

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.8

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.9.1

Faktorkan $3$ dari $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.9.2.4

Bagilah $- 9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.11

Untuk menuliskan $9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.12

Gabungkan $9$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.14.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 27}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.14.2

Tambahkan $125$ dan $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{152}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.15

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{152}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 6 \cdot 152}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.16

Kalikan $- 6$ dengan $152$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 912}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.17

Hapus faktor persekutuan dari $- 912$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.17.1

Faktorkan $3$ dari $- 912$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.17.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 (1)} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 \cdot 1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 304}{1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.17.2.4

Bagilah $- 304$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 304 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.18

Kurangi $304$ dengan $272$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.19

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.20

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{25 - 9}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.22

Kurangi $9$ dengan $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{16}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.23

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.23.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.23.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.23.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.23.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.23.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{8}{1}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.23.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \cdot 8 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.24

Kalikan $- 48$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 384 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.25

Kurangi $384$ dengan $- 32$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.26

Kalikan $9$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 - 9 \cdot - 3)$

Langkah 16.5.27

Kalikan $- 9$ dengan $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 + 27)$

Langkah 16.5.28

Tambahkan $45$ dan $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 72)$

Langkah 16.5.29

Tambahkan $- 416$ dan $72$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 344)$

Langkah 17

Tambahkan $5$ dan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot - 344$

Langkah 18

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Faktorkan $8$ dari $- 344$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 (- 43))$

Langkah 18.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 43)$

Langkah 18.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = - 43$

Langkah 19