Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[- 1, 1]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Langkah 1.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\sqrt[3]{x}$

Langkah 1.2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 6.2.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Langkah 6.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Langkah 6.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Langkah 6.2.6

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Langkah 6.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Langkah 6.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Langkah 6.2.9

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Langkah 6.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Langkah 6.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Langkah 6.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Langkah 6.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Langkah 6.2.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Langkah 7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Langkah 8

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$A (x) = 0$

Langkah 9