Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 2)$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[1, 2]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 1.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $- x^{- 1}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Langkah 7.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1)$

Langkah 7.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 1 + 2}{2})$

Langkah 7.2.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{2})$

Langkah 8

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 9

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 10

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 11