Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kurangkan $64$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} = - 64$

Tambahkan $64$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} + 64 = 0$

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Tulis kembali $64$ sebagai $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Atur $x^{2} - 4 x + 16$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Atur $x^{2} - 4 x + 16$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Selesaikan $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = 16$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Kurangi $64$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $- 48$ sebagai $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (48)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Sederhanakan $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Kurangi $64$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $- 48$ sebagai $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (48)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Sederhanakan $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Kurangi $64$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $- 48$ sebagai $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (48)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Sederhanakan $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ benar.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 4}$

Step 4

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \in ℝ}$

Step 5

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

Daerah hasil: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6