Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 y - 1))$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$

Langkah 3.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1)) = 2 x$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (2 y - 1)$ .

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Langkah 3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Langkah 3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (2 y - 1) = 2 x$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (2 y - 1)} = e^{2 x}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (2 y - 1) = 2 x$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 x} = 2 y - 1$

Langkah 3.6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 y - 1 = e^{2 x}$ .

$2 y - 1 = e^{2 x}$

Langkah 3.6.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y = e^{2 x} + 1$

Langkah 3.6.3

Bagi setiap suku pada $2 y = e^{2 x} + 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y = e^{2 x} + 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.6.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))}}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))} + 1}{2}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Sederhanakan $\frac{1}{2} (\ln (2 x - 1))$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Sederhanakan $2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{\ln ({({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.4

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{(2 x - 1) + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $2 x - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x + 0}{2}$

Langkah 5.2.5.1.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.5.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1))$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Langkah 5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Langkah 5.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Langkah 5.3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Langkah 5.3.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $e^{2 x} + 1 - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 0)$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $e^{2 x}$ dan $0$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x})$

Langkah 5.3.5

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $2 x$ keluar dari eksponen.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \ln (e))$

Langkah 5.3.6

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Langkah 5.3.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Langkah 5.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Langkah 5.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Langkah 5.3.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$