Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} + 4 x + 2$ , $(- 3, - 2)$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 3, - 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\int_{- 3}^{- 2} x^{2} + 4 x + 2 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\int_{- 3}^{- 2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- 2} 4 x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + \int_{- 3}^{- 2} 4 x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Langkah 7

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 \int_{- 3}^{- 2} x d x + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{- 2}) + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + \int_{- 3}^{- 2} 2 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- 2}$ dan $2 x]_{- 3}^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{- 2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $- 2$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 3}^{- 2})$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ pada $- 2$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.4

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{2 \cdot 2 - 9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.7.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{4 - 9}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.7.2

Kurangi $9$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (\frac{- 5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (4 (- \frac{5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 4 (\frac{5}{2}) + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.10

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{5}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 4 \cdot 5}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.11

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 20}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $- 20$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.12.1

Faktorkan $2$ dari $- 20$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2 (1)} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10}{1} + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.12.2.4

Bagilah $- 10$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.13

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{1}{3} \cdot - 8 + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.14

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8}{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} + 2 \cdot - 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.16

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} - 4 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.17

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.18

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{8}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8 - 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.20.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 8 - 12}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.20.2

Kurangi $12$ dengan $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.22

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.23

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{- 27}{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.24

Hapus faktor persekutuan dari $- 27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.24.1

Faktorkan $3$ dari $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.24.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.24.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.24.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.24.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (\frac{- 9}{1} + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.24.2.4

Bagilah $- 9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (- 9 + 2 \cdot - 3))$

Langkah 11.2.3.25

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} - (- 9 - 6))$

Langkah 11.2.3.26

Kurangi $6$ dengan $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15)$

Langkah 11.2.3.27

Kalikan $- 1$ dengan $- 15$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15)$

Langkah 11.2.3.28

Untuk menuliskan $15$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 11.2.3.29

Gabungkan $15$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 - \frac{20}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3})$

Langkah 11.2.3.30

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20 + 15 \cdot 3}{3})$

Langkah 11.2.3.31

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.31.1

Kalikan $15$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{- 20 + 45}{3})$

Langkah 11.2.3.31.2

Tambahkan $- 20$ dan $45$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 + \frac{25}{3})$

Langkah 11.2.3.32

Untuk menuliskan $- 10$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- 10 \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3})$

Langkah 11.2.3.33

Gabungkan $- 10$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{25}{3})$

Langkah 11.2.3.34

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 10 \cdot 3 + 25}{3})$

Langkah 11.2.3.35

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.35.1

Kalikan $- 10$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 30 + 25}{3})$

Langkah 11.2.3.35.2

Tambahkan $- 30$ dan $25$ .

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (\frac{- 5}{3})$

Langkah 11.2.3.36

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{- 2 + 3} (- \frac{5}{3})$

Langkah 12

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{3})$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{3})$

Langkah 13.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{5}{3})$

Langkah 14

Kalikan $- \frac{5}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = - \frac{5}{3}$

Langkah 15