Kalkulus Contoh

$f (x) = - x^{2} + 3 x + 38$ , $[0, 9]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 9]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} - x^{2} + 3 x + 38 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} - x^{2} d x + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \int_{0}^{9} x^{2} d x + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 3 x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Langkah 9

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} 38 d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + 38 x]_{0}^{9})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $9$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + 38 x]_{0}^{9})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $9$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 x]_{0}^{9})$

Langkah 13.3

Evaluasi $38 x$ pada $9$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{729}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $729$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (\frac{243}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2.4

Bagilah $243$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.4.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 - 0) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- (243 + 0) + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.6

Tambahkan $243$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 1 \cdot 243 + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.7

Kalikan $- 1$ dengan $243$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.8

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.10.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} - 0) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2} + 0) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.12

Tambahkan $\frac{81}{2}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + 3 (\frac{81}{2}) + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.13

Gabungkan $3$ dan $\frac{81}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + \frac{3 \cdot 81}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.14

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 + \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.15

Untuk menuliskan $- 243$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- 243 \cdot \frac{2}{2} + \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.16

Gabungkan $- 243$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 \cdot 2 + 243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.18

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.18.1

Kalikan $- 243$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 486 + 243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.18.2

Tambahkan $- 486$ dan $243$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.19

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 38 \cdot 9 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.20

Kalikan $38$ dengan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342 - 38 \cdot 0)$

Langkah 13.4.21

Kalikan $- 38$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342 + 0)$

Langkah 13.4.22

Tambahkan $342$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342)$

Langkah 13.4.23

Untuk menuliskan $342$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + 342 \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 13.4.24

Gabungkan $342$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (- \frac{243}{2} + \frac{342 \cdot 2}{2})$

Langkah 13.4.25

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 + 342 \cdot 2}{2})$

Langkah 13.4.26

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.26.1

Kalikan $342$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{- 243 + 684}{2})$

Langkah 13.4.26.2

Tambahkan $- 243$ dan $684$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{441}{2})$

Langkah 14

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot \frac{441}{2}$

Langkah 14.2

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{441}{2}$

Langkah 15

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $9$ dari $441$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 (49)}{2}$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 49}{2}$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{49}{2}$

Langkah 16