Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} + 2 x + 10$ , $[- 2, 6]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 2, 6]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} + 2 x + 10 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} d x + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 \int_{- 2}^{6} x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + 10 x]_{- 2}^{6})$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6}$ dan $10 x]_{- 2}^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $6$ dan pada $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + 10 x$ pada $6$ dan pada $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.2.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{4}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 1 \cdot 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.6

Kurangi $2$ dengan $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 \cdot 16 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.7

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.8

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 216 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{216}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $216$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{72}{1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.10.2.4

Bagilah $72$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.11

Kalikan $10$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 60 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.12

Tambahkan $72$ dan $60$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.13

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot - 8 + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.14

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{- 8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Langkah 11.2.3.16

Kalikan $10$ dengan $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20))$

Langkah 11.2.3.17

Untuk menuliskan $- 20$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3}))$

Langkah 11.2.3.18

Gabungkan $- 20$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3}))$

Langkah 11.2.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 20 \cdot 3}{3})$

Langkah 11.2.3.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.20.1

Kalikan $- 20$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 60}{3})$

Langkah 11.2.3.20.2

Kurangi $60$ dengan $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 68}{3})$

Langkah 11.2.3.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Langkah 11.2.3.22

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + 1 (\frac{68}{3}))$

Langkah 11.2.3.23

Kalikan $\frac{68}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Langkah 11.2.3.24

Untuk menuliskan $132$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3})$

Langkah 11.2.3.25

Gabungkan $132$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3})$

Langkah 11.2.3.26

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3 + 68}{3})$

Langkah 11.2.3.27

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.27.1

Kalikan $132$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{396 + 68}{3})$

Langkah 11.2.3.27.2

Tambahkan $396$ dan $68$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{464}{3})$

Langkah 11.2.3.28

Untuk menuliskan $32$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 \cdot \frac{3}{3} + \frac{464}{3})$

Langkah 11.2.3.29

Gabungkan $32$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{464}{3})$

Langkah 11.2.3.30

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3 + 464}{3})$

Langkah 11.2.3.31

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.31.1

Kalikan $32$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{96 + 464}{3})$

Langkah 11.2.3.31.2

Tambahkan $96$ dan $464$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{560}{3})$

Langkah 12

Tambahkan $6$ dan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{560}{3}$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $8$ dari $560$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (70)}{3}$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 70}{3}$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{70}{3}$

Langkah 14