Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} + 1$ , $- 1 < x < 2$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} d x)$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + x]_{- 1}^{2})$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ dan $x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{- 1}^{2})$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + x$ pada $2$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.6.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.6.2

Tambahkan $8$ dan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 - 1))$

Langkah 8.2.2.8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (\frac{- 1}{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1))$

Langkah 8.2.2.10

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}))$

Langkah 8.2.2.11

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}))$

Langkah 8.2.2.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})$

Langkah 8.2.2.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 1 - 3}{3})$

Langkah 8.2.2.13.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} - \frac{- 4}{3})$

Langkah 8.2.2.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

Langkah 8.2.2.15

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + 1 (\frac{4}{3}))$

Langkah 8.2.2.16

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14}{3} + \frac{4}{3})$

Langkah 8.2.2.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{14 + 4}{3})$

Langkah 8.2.2.18

Tambahkan $14$ dan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{3})$

Langkah 8.2.2.19

Hapus faktor persekutuan dari $18$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.19.1

Faktorkan $3$ dari $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3})$

Langkah 8.2.2.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.19.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 (1)})$

Langkah 8.2.2.19.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1})$

Langkah 8.2.2.19.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6}{1})$

Langkah 8.2.2.19.2.4

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6)$

Langkah 9

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 6$

Langkah 10

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

Langkah 10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Langkah 10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 2$

Langkah 11