Kalkulus Contoh

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $p (x)$ kontinu di $[0, 10]$ atau tidak, tentukan domain dari $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur argumen dalam $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $- x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Langkah 1.2.2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

Langkah 1.2.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.2.4

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 72$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Naikkan $72$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.1.3

Kurangi $8$ dengan $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.1.4

Tulis kembali $5176$ sebagai $2^{2} \cdot 1294$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Langkah 1.2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Naikkan $72$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.6.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.6.1.3

Kurangi $8$ dengan $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.6.1.4

Tulis kembali $5176$ sebagai $2^{2} \cdot 1294$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.6.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Langkah 1.2.6.3

Sederhanakan $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.6.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.6.5

Tulis kembali $- 36$ sebagai $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

Langkah 1.2.6.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

Langkah 1.2.6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Naikkan $72$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.7.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.7.1.3

Kurangi $8$ dengan $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.7.1.4

Tulis kembali $5176$ sebagai $2^{2} \cdot 1294$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.7.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.7.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Langkah 1.2.7.3

Sederhanakan $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.7.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.7.5

Tulis kembali $- 36$ sebagai $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

Langkah 1.2.7.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

Langkah 1.2.7.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.8

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.2.10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Uji nilai pada interval $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 38$

Langkah 1.2.10.1.2

Ganti $x$ dengan $- 38$ pada pertidaksamaan asal.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

Langkah 1.2.10.1.3

Sisi kiri $153$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 1.2.10.2

Uji nilai pada interval $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.2.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 3$

Langkah 1.2.10.2.2

Ganti $x$ dengan $- 3$ pada pertidaksamaan asal.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

Langkah 1.2.10.2.3

Sisi kiri $- 197$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.2.10.3

Uji nilai pada interval $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.3.1

Pilih nilai pada interval $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 1.2.10.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

Langkah 1.2.10.3.3

Sisi kiri $1$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 1.2.10.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Benar

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Salah

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Benar

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Benar

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Salah

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Benar

Langkah 1.2.11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ atau $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Langkah 2

$p (x)$ kontinu di $[0, 10]$ .

$p (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $p$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

Langkah 5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Langkah 5.2

Tambahkan $10$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Langkah 6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tambahkan $- x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{10}$ dan $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

Langkah 7