Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x - x^{2}$ , $[- 1, 1]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x - x^{2} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}))$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1 - 1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 (0)}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.5.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.6

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Langkah 11.2.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 11.2.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Langkah 11.2.3.11

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Langkah 11.2.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{1 + 1}{3})$

Langkah 11.2.3.13

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{2}{3})$

Langkah 11.2.3.14

Kurangi $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (- \frac{2}{3})$

Langkah 12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{2}{3})$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Langkah 13.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Langkah 13.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Langkah 13.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{- 1}{3}$

Langkah 14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = - \frac{1}{3}$

Langkah 15