Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 3$ , $- 1 < x < 2$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} + 5 x + 3 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Langkah 9

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $2$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Langkah 13.3

Evaluasi $3 x$ pada $2$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8 + 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.7

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{9}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.8.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3}{1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \cdot 3 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.9

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.11

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.11.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.11.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.12

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.13

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.14

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.16

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.16.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.16.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{3}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.17

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{5 \cdot 3}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.18

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.19

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.20

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.22

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.22.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{12 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.22.2

Tambahkan $12$ dan $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.23

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 - 3 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.24

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 + 3)$

Langkah 13.4.25

Tambahkan $6$ dan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9)$

Langkah 13.4.26

Untuk menuliskan $9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 13.4.27

Gabungkan $9$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2})$

Langkah 13.4.28

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 9 \cdot 2}{2})$

Langkah 13.4.29

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.29.1

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 18}{2})$

Langkah 13.4.29.2

Tambahkan $27$ dan $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{45}{2})$

Langkah 14

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{2}$

Langkah 15

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $3$ dari $45$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (15)}{2}$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 15}{2}$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{15}{2}$

Langkah 16