Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ , $[1, 27]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 27]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x)$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ pada $27$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Langkah 7.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Langkah 7.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{243 - 3}{4})$

Langkah 7.2.10

Kurangi $3$ dengan $243$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{240}{4})$

Langkah 7.2.11

Hapus faktor persekutuan dari $240$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.11.1

Faktorkan $4$ dari $240$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4})$

Langkah 7.2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.11.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 (1)})$

Langkah 7.2.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1})$

Langkah 7.2.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (\frac{60}{1})$

Langkah 7.2.11.2.4

Bagilah $60$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{27 - 1} (60)$

Langkah 8

Kurangi $1$ dengan $27$ .

$A (x) = \frac{1}{26} \cdot 60$

Langkah 9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $2$ dari $26$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (13)} \cdot 60$

Langkah 9.2

Faktorkan $2$ dari $60$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Langkah 9.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 13} \cdot (2 \cdot 30)$

Langkah 9.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{13} \cdot 30$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{13}$ dan $30$ .

$A (x) = \frac{30}{13}$

Langkah 11