Kalkulus Contoh

$f (x) = x - x^{2}$ , $[0, 2]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x - x^{2} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Langkah 9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $\frac{1}{2} x^{2}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Langkah 9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.5

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.6

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 + 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.7

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Langkah 9.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Langkah 9.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} - 0))$

Langkah 9.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - (\frac{8}{3} + 0))$

Langkah 9.2.3.12

Tambahkan $\frac{8}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 - \frac{8}{3})$

Langkah 9.2.3.13

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 9.2.3.14

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 9.2.3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{2 \cdot 3 - 8}{3})$

Langkah 9.2.3.16

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.16.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 - 8}{3})$

Langkah 9.2.3.16.2

Kurangi $8$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 2}{3})$

Langkah 9.2.3.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- \frac{2}{3})$

Langkah 10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot (- \frac{2}{3})$

Langkah 10.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{2}{3})$

Langkah 11

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Langkah 11.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Langkah 11.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Langkah 11.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{- 1}{3}$

Langkah 11.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = - \frac{1}{3}$

Langkah 12