Kalkulus Contoh

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[- 4, - 3]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan pokok dalam $x^{- 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 4, - 3]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Langkah 7

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

Langkah 8

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Evaluasi $\frac{1}{2} x^{2}$ pada $- 3$ dan pada $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Langkah 9.1.2

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $- 3$ dan pada $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.3

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.4

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.5

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 16$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.6.2.4

Bagilah $- 8$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.7

Untuk menuliskan $- 8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.8

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.10.1

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.10.2

Kurangi $16$ dengan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Langkah 9.1.3.12

Untuk menuliskan $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 9.1.3.13

Gabungkan $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Langkah 9.1.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Langkah 9.1.3.15

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Langkah 9.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Langkah 9.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 3$ dan $0$ adalah $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

Langkah 9.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 4$ dan $0$ adalah $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Langkah 10

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $- 3$ dan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Langkah 10.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Langkah 10.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Langkah 10.3

Kalikan $- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ dengan $1$ .

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

Langkah 11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ dengan memindahkan $24$ ke dalam logaritma.

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

Langkah 11.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

Langkah 11.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

Langkah 11.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

Langkah 12