Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$ , $[1, 2]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Langkah 7

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Langkah 10

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 \int_{1}^{2} x d x)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}))$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Langkah 12.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $\frac{1}{4} x^{4}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Langkah 12.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Langkah 12.2.3

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.3.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.3.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.6

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.7

Gabungkan $4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.9.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.9.2

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 \frac{8 - 1}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.13

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{7}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.14

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{7}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 4 \cdot 7}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.15

Kalikan $- 4$ dengan $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.17

Untuk menuliskan $\frac{15}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.18

Untuk menuliskan $- \frac{28}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.19

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.19.1

Kalikan $\frac{15}{4}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.19.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.19.3

Kalikan $\frac{28}{3}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.19.4

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.21

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.21.1

Kalikan $15$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.21.2

Kalikan $- 28$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 112}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.21.3

Kurangi $112$ dengan $45$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.22

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.23

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.24

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.24.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.24.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.24.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.24.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.24.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.24.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1^{2}}{2}))$

Langkah 12.2.4.25

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1}{2}))$

Langkah 12.2.4.26

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Langkah 12.2.4.27

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Langkah 12.2.4.28

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}))$

Langkah 12.2.4.29

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.29.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4 - 1}{2}))$

Langkah 12.2.4.29.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{3}{2}))$

Langkah 12.2.4.30

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{5 \cdot 3}{2})$

Langkah 12.2.4.31

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2})$

Langkah 12.2.4.32

Untuk menuliskan $\frac{15}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{6})$

Langkah 12.2.4.33

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.33.1

Kalikan $\frac{15}{2}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 6})$

Langkah 12.2.4.33.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{12})$

Langkah 12.2.4.34

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 15 \cdot 6}{12})$

Langkah 12.2.4.35

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.35.1

Kalikan $15$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 90}{12})$

Langkah 12.2.4.35.2

Tambahkan $- 67$ dan $90$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{23}{12})$

Langkah 13

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

Langkah 14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 1 \cdot \frac{23}{12}$

Langkah 15

Kalikan $\frac{23}{12}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{23}{12}$

Langkah 16