Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 4]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 4]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 \int_{0}^{4} x^{2} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Langkah 9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $\frac{1}{4} x^{4}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Langkah 9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $256$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.4

Bagilah $64$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.5

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.6

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.7

Tambahkan $64$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}))$

Langkah 9.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Langkah 9.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - 0))$

Langkah 9.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} + 0))$

Langkah 9.2.3.12

Tambahkan $\frac{64}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3}))$

Langkah 9.2.3.13

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 3 \cdot 64}{3})$

Langkah 9.2.3.14

Kalikan $- 3$ dengan $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 192}{3})$

Langkah 9.2.3.15

Hapus faktor persekutuan dari $- 192$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.15.1

Faktorkan $3$ dari $- 192$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3})$

Langkah 9.2.3.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.15.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 (1)})$

Langkah 9.2.3.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 \cdot 1})$

Langkah 9.2.3.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 64}{1})$

Langkah 9.2.3.15.2.4

Bagilah $- 64$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 64)$

Langkah 9.2.3.16

Kurangi $64$ dengan $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (0)$

Langkah 10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 0$

Langkah 10.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $0$ .

$A (x) = 0$

Langkah 12