Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , $[0, 3]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 3]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} x^{2} - 4 x + 1 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x d x + \int_{0}^{3} d x)$

Langkah 7

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + x]_{0}^{3})$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}$ dan $x]_{0}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + x]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + x$ pada $3$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 3) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $3$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 3) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 27 + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{27}{3} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{9}{1} + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 3 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.4

Tambahkan $9$ dan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - (0 + 0) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.7

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 0 - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + 0 - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.9

Tambahkan $12$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}))$

Langkah 11.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.12.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Langkah 11.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Langkah 11.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Langkah 11.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}))$

Langkah 11.2.3.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} - 0))$

Langkah 11.2.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2} + 0))$

Langkah 11.2.3.14

Tambahkan $\frac{9}{2}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 4 (\frac{9}{2}))$

Langkah 11.2.3.15

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{9}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{- 4 \cdot 9}{2})$

Langkah 11.2.3.16

Kalikan $- 4$ dengan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{- 36}{2})$

Langkah 11.2.3.17

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.17.1

Faktorkan $2$ dari $- 36$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{2 \cdot - 18}{2})$

Langkah 11.2.3.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.17.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)})$

Langkah 11.2.3.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1})$

Langkah 11.2.3.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 + \frac{- 18}{1})$

Langkah 11.2.3.17.2.4

Bagilah $- 18$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (12 - 18)$

Langkah 11.2.3.18

Kurangi $18$ dengan $12$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (- 6)$

Langkah 12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot - 6$

Langkah 12.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = - 2$

Langkah 14