Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ , $[- 1, 2]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} - 3 x + 5 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Langkah 7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 5 x]_{- 1}^{2})$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ dan $5 x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ pada $2$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $2$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.3

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.4

Untuk menuliskan $10$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.5

Gabungkan $10$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.7.1

Kalikan $10$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 30}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.7.2

Tambahkan $8$ dan $30$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{- 1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.11

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.12

Untuk menuliskan $- 5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.13

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 5 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.15

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.15.1

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 15}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.15.2

Kurangi $15$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.17

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + 1 (\frac{16}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.18

Kalikan $\frac{16}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38 + 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.20

Tambahkan $38$ dan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{54}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.21

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.21.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.21.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.21.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.21.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.21.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.21.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.22

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.23

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.23.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.23.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.23.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.23.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.23.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.23.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Langkah 11.2.3.24

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{1}{2}))$

Langkah 11.2.3.25

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Langkah 11.2.3.26

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Langkah 11.2.3.27

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2})$

Langkah 11.2.3.28

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.28.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{4 - 1}{2})$

Langkah 11.2.3.28.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{3}{2}))$

Langkah 11.2.3.29

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 3 \cdot 3}{2})$

Langkah 11.2.3.30

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 9}{2})$

Langkah 11.2.3.31

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - \frac{9}{2})$

Langkah 11.2.3.32

Untuk menuliskan $18$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})$

Langkah 11.2.3.33

Gabungkan $18$ dan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})$

Langkah 11.2.3.34

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2 - 9}{2})$

Langkah 11.2.3.35

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.35.1

Kalikan $18$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{36 - 9}{2})$

Langkah 11.2.3.35.2

Kurangi $9$ dengan $36$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2})$

Langkah 12

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{2}$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (9)}{2}$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{2}$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{9}{2}$

Langkah 14