Kalkulus Contoh

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[4, 9]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 1.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[4, 9]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

Langkah 5

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

Langkah 6

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $9$ dan pada $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.5

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.6.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Langkah 8.2.2.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Langkah 8.2.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Langkah 8.2.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

Langkah 8.2.2.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

Langkah 8.2.2.11

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

Langkah 8.2.2.12

Untuk menuliskan $18$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

Langkah 8.2.2.13

Gabungkan $18$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

Langkah 8.2.2.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

Langkah 8.2.2.15

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.15.1

Kalikan $18$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

Langkah 8.2.2.15.2

Kurangi $16$ dengan $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

Langkah 8.2.2.16

Gabungkan $6$ dan $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

Langkah 8.2.2.17

Kalikan $6$ dengan $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

Langkah 8.2.2.18

Hapus faktor persekutuan dari $228$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.18.1

Faktorkan $3$ dari $228$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

Langkah 8.2.2.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.18.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

Langkah 8.2.2.18.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

Langkah 8.2.2.18.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

Langkah 8.2.2.18.2.4

Bagilah $76$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

Langkah 9

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

Langkah 11