Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 x^{2} + 2 x - 3$ , $[- 3, 3]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 3, 3]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 5 x^{2} + 2 x - 3 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 5 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Langkah 6

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Langkah 9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 \int_{- 3}^{3} x d x + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 3 d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $3$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $3$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 3}^{3})$

Langkah 13.3

Evaluasi $- 3 x$ pada $3$ dan pada $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.2.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{- 27}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 - \frac{- 9}{1}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.4.2.4

Bagilah $- 9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 + 9) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 (9 + 9) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.6

Tambahkan $9$ dan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (5 \cdot 18 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.7

Kalikan $5$ dengan $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.9

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9}{2} - \frac{9}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{9 - 9}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.11

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{0}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.12.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.12.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 (\frac{0}{1}) - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.13

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 + 0 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.14

Tambahkan $90$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.15

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 9 + 3 \cdot - 3)$

Langkah 13.4.16

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 9 - 9)$

Langkah 13.4.17

Kurangi $9$ dengan $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (90 - 18)$

Langkah 13.4.18

Kurangi $18$ dengan $90$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (72)$

Langkah 14

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 72$

Langkah 15

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $6$ dari $72$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (12))$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 12)$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 12$

Langkah 16