Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 1]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

Langkah 9

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Langkah 11.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Langkah 11.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} + 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.5

Tambahkan $\frac{1}{4}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.6

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 11.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Langkah 11.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Langkah 11.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 11.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 11.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Langkah 11.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - 0))$

Langkah 11.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} + 0))$

Langkah 11.2.3.12

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3}))$

Langkah 11.2.3.13

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 3}{3})$

Langkah 11.2.3.14

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.14.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3})$

Langkah 11.2.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.14.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})$

Langkah 11.2.3.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})$

Langkah 11.2.3.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 1}{1})$

Langkah 11.2.3.14.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 1)$

Langkah 11.2.3.15

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0)$

Langkah 12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

Langkah 13

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 1 \cdot 0$

Langkah 13.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$A (x) = 0$

Langkah 14