Kalkulus Contoh

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 5]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Langkah 7

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Langkah 8

Biarkan $u = - 0.04 x$ . Kemudian $d u = - 0.04 d x$ sehingga $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = - 0.04 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $- 0.04$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 0.04 x$ terhadap $x$ adalah $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- 0.04$ dengan $1$ .

$- 0.04$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Langkah 8.3

Kalikan $- 0.04$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Langkah 8.5

Kalikan $- 0.04$ dengan $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Langkah 9.2

Gabungkan ${2.71828182}^{u}$ dan $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Langkah 11

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{0.04}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{0.04}$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{0.04}$ dan $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Langkah 13.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Langkah 14

Integral dari ${2.71828182}^{u}$ terhadap $u$ adalah $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ dan $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Langkah 15.2

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Langkah 16

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $29 x$ pada $5$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Langkah 16.2

Evaluasi $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ pada $- 0.2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Kalikan $29$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.2

Kalikan $- 29$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.3

Tambahkan $145$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.5

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.6

Tulis kembali $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ sebagai hasil kali.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.7

Kalikan $\frac{1}{1.22140275}$ dengan $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.8

Kalikan $1.22140275$ dengan $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 16.3.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1.1

Bagilah $1$ dengan $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.2

Untuk menuliskan $0.81873075$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1.4.1

Kalikan $0.81873075$ dengan $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.4.2

Kurangi $1$ dengan $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.6

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.7

Basis log $2.71828182$ dari $2.71828182$ adalah sekitar $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Langkah 17.1.1.8

Bagilah $0.18126924$ dengan $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Langkah 17.1.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Langkah 17.1.2

Kalikan $8$ dengan $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Langkah 17.1.3

Bagilah $- 1.45015397$ dengan $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Langkah 17.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Langkah 17.2

Tambahkan $145$ dan $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Langkah 18

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Langkah 18.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Langkah 19

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Langkah 19.2

Bagilah $181.25384939$ dengan $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Langkah 20