Kalkulus Contoh

$f (x) = 25 - x^{2}$ , $[0, 2]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 25 - x^{2} d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 25 d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (25 x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (25 x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (25 x]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (25 x]_{0}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Langkah 9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $25 x$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((25 \cdot 2) - 25 \cdot 0 - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Langkah 9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (25 \cdot 2 - 25 \cdot 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Kalikan $25$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - 25 \cdot 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.2

Kalikan $- 25$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 + 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3

Tambahkan $50$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Langkah 9.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Langkah 9.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Langkah 9.2.3.6.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} - 0))$

Langkah 9.2.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - (\frac{8}{3} + 0))$

Langkah 9.2.3.8

Tambahkan $\frac{8}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 - \frac{8}{3})$

Langkah 9.2.3.9

Untuk menuliskan $50$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (50 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 9.2.3.10

Gabungkan $50$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{50 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 9.2.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{50 \cdot 3 - 8}{3})$

Langkah 9.2.3.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.12.1

Kalikan $50$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{150 - 8}{3})$

Langkah 9.2.3.12.2

Kurangi $8$ dengan $150$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{142}{3})$

Langkah 10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{142}{3}$

Langkah 10.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{142}{3}$

Langkah 11

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Faktorkan $2$ dari $142$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (71)}{3}$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 71}{3}$

Langkah 11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{71}{3}$

Langkah 12