Kalkulus Contoh

$f (x) = 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3$ , $[0, 20]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 20]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $- 2 x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x + x^{2} + 14 x + 3 d x)$

Langkah 5.2

Tambahkan $204 x$ dan $14 x$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} + 218 x + 3 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} d x + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Langkah 8

Karena $218$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $218$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + 3 x]_{0}^{20})$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}$ dan $3 x]_{0}^{20}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Langkah 12.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $20$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

Langkah 12.2.2

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ pada $20$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $400$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.2.2.4

Bagilah $200$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.6

Tambahkan $200$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 \cdot 200 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.7

Kalikan $218$ dengan $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.8

Naikkan $20$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 8000 + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.10

Kalikan $3$ dengan $20$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.11

Untuk menuliskan $60$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.12

Gabungkan $60$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + \frac{60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.14.1

Kalikan $60$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.14.2

Tambahkan $8000$ dan $180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.15

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.16

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 3 \cdot 0))$

Langkah 12.2.3.17

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 0))$

Langkah 12.2.3.18

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - 0)$

Langkah 12.2.3.19

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} + 0)$

Langkah 12.2.3.20

Tambahkan $\frac{8180}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3})$

Langkah 12.2.3.21

Untuk menuliskan $43600$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8180}{3})$

Langkah 12.2.3.22

Gabungkan $43600$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3}{3} + \frac{8180}{3})$

Langkah 12.2.3.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3 + 8180}{3})$

Langkah 12.2.3.24

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.24.1

Kalikan $43600$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{130800 + 8180}{3})$

Langkah 12.2.3.24.2

Tambahkan $130800$ dan $8180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{138980}{3})$

Langkah 13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{138980}{3}$

Langkah 13.2

Tambahkan $20$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{138980}{3}$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan dari $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Faktorkan $20$ dari $138980$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (6949)}{3}$

Langkah 14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 6949}{3}$

Langkah 14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{6949}{3}$

Langkah 15