Kalkulus Contoh

$y = - x + 2 \cos (x)$

Langkah 1

Tulis $y = - x + 2 \cos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = - x + 2 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x + 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 1 - 2 \sin (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 1 - 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Langkah 3.3

Kurangi $2 \cos (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

Langkah 5

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \sin (x) = 1$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $- 2 \sin (x) = 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \sin (x) = 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 7

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 8

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 9

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 10.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Langkah 13.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 13.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 13.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \sqrt{3}$

Langkah 13.5

Tulis kembali $- 1 \sqrt{3}$ sebagai $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Langkah 14

$x = - \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{π}{6}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{π}{6}) = - (- \frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Kalikan $- (- \frac{π}{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 1 (\frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Langkah 15.2.1.1.2

Kalikan $\frac{π}{6}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Langkah 15.2.1.2

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Langkah 15.2.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Langkah 15.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 15.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 15.2.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Langkah 15.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{7 π}{6}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Langkah 17.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 17.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Langkah 17.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Langkah 17.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Langkah 17.4.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\sqrt{3}$

Langkah 18

$x = \frac{7 π}{6}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{7 π}{6}$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{7 π}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{7 π}{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{7 π}{6}) = - (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Langkah 19.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Langkah 19.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Langkah 19.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - x + 2 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3})$ adalah minimum lokal

Langkah 21