Kalkulus Contoh

$f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{2}$ , $(- 1, 1)$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{2} d x)$

Langkah 5

Perluas ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali ${(9 x^{2} + 1)}^{2}$ sebagai $(9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} (9 x^{2} + 1) (9 x^{2} + 1) d x)$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2} + 1) + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2} + 1) d x)$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} (9 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.5

Pindahkan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.6

Pindahkan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 9 \cdot (9 x^{2} x^{2}) + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.7

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2} x^{2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{2 + 2} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.9

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 \cdot (1 x^{2}) + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.10

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 1 \cdot (9 x^{2}) + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.11

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 \cdot 1 d x)$

Langkah 5.12

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 1 d x)$

Langkah 5.13

Tambahkan $9 x^{2}$ dan $9 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} + 18 x^{2} + 1 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 81 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 7

Karena $81$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $81$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 18 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 10

Karena $18$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $18$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Langkah 14.3

Evaluasi $x$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.5

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{1 + 1}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (81 (\frac{2}{5}) + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.8

Gabungkan $81$ dan $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{81 \cdot 2}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.9

Kalikan $81$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.11

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.13

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.14

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{1 + 1}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 18 (\frac{2}{3}) + 1 + 1)$

Langkah 14.4.17

Gabungkan $18$ dan $\frac{2}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{18 \cdot 2}{3} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.18

Kalikan $18$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{36}{3} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.19

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.19.1

Faktorkan $3$ dari $36$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.19.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 (1)} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.19.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{3 \cdot 12}{3 \cdot 1} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.19.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12}{1} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.19.2.4

Bagilah $12$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 + 1 + 1)$

Langkah 14.4.20

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + 12 \cdot \frac{5}{5} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.21

Gabungkan $12$ dan $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162}{5} + \frac{12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.22

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 12 \cdot 5}{5} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.23

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.23.1

Kalikan $12$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{162 + 60}{5} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.23.2

Tambahkan $162$ dan $60$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 1 + 1)$

Langkah 14.4.24

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2)$

Langkah 14.4.25

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 14.4.26

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})$

Langkah 14.4.27

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 2 \cdot 5}{5})$

Langkah 14.4.28

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.28.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{222 + 10}{5})$

Langkah 14.4.28.2

Tambahkan $222$ dan $10$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{232}{5})$

Langkah 15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{232}{5}$

Langkah 16

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Faktorkan $2$ dari $232$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (116)}{5}$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 116}{5}$

Langkah 16.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{116}{5}$

Langkah 17