Kalkulus Contoh

$f (x) = 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5$ , $[0, 5]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 5]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} + 1.5 x + 5.5 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 0.1 x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Langkah 6

Karena $0.1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $0.1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 1.5 x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Langkah 9

Karena $1.5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $1.5$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5.5 d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $5$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $5$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 x]_{0}^{5})$

Langkah 13.3

Evaluasi $5.5 x$ pada $5$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} - 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3} + 0) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.5

Tambahkan $\frac{125}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (0.1 (\frac{125}{3}) + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.6

Gabungkan $0.1$ dan $\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{0.1 \cdot 125}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.7

Kalikan $0.1$ dengan $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.8

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.10.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} - 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2} + 0) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.12

Tambahkan $\frac{25}{2}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + 1.5 (\frac{25}{2}) + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.13

Gabungkan $1.5$ dan $\frac{25}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{1.5 \cdot 25}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.14

Kalikan $1.5$ dengan $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.15

Untuk menuliskan $\frac{12.5}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.16

Untuk menuliskan $\frac{37.5}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.17

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.17.1

Kalikan $\frac{12.5}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.17.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5}{2} \cdot \frac{3}{3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.17.3

Kalikan $\frac{37.5}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.17.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2}{6} + \frac{37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{12.5 \cdot 2 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.19

Kalikan $12.5$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 37.5 \cdot 3}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.20

Kalikan $37.5$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{25 + 112.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.21

Tambahkan $25$ dan $112.5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 5.5 \cdot 5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.22

Kalikan $5.5$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 - 5.5 \cdot 0)$

Langkah 13.4.23

Kalikan $- 5.5$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 + 0)$

Langkah 13.4.24

Tambahkan $27.5$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5)$

Langkah 13.4.25

Untuk menuliskan $27.5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + 27.5 \cdot \frac{6}{6})$

Langkah 13.4.26

Gabungkan $27.5$ dan $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5}{6} + \frac{27.5 \cdot 6}{6})$

Langkah 13.4.27

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 27.5 \cdot 6}{6})$

Langkah 13.4.28

Kalikan $27.5$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{137.5 + 165}{6})$

Langkah 13.4.29

Tambahkan $137.5$ dan $165$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{302.5}{6})$

Langkah 14

Bagilah $302.5$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (50.41\overline{6})$

Langkah 15

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 50.41\overline{6}$

Langkah 15.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 50.41\overline{6}$

Langkah 16

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $50.41\overline{6}$ .

$A (x) = \frac{50.41\overline{6}}{5}$

Langkah 16.2

Bagilah $50.41\overline{6}$ dengan $5$ .

$A (x) = 10.08\overline{3}$

Langkah 17