Kalkulus Contoh

$f (x) = (2 x - 1) (x + 4)$ , $(1, 5)$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[1, 5]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} (2 x - 1) (x + 4) d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x (x + 4) - 1 (x + 4) d x)$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4) d x)$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Langkah 5.4

Pindahkan $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Langkah 5.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Langkah 5.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Langkah 5.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Langkah 5.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Langkah 5.9

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Langkah 5.10

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 4 d x)$

Langkah 5.11

Kurangi $1 x$ dengan $8 x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 7 x - 4 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 \int_{1}^{5} x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Langkah 10

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $5$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $5$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Langkah 14.3

Evaluasi $- 4 x$ pada $5$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125 - 1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.4

Kurangi $1$ dengan $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{124}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{124}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{2 \cdot 124}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.6

Kalikan $2$ dengan $124$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.7

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25 - 1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.10

Kurangi $1$ dengan $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{24}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.11

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.11.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 (1)}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{12}{1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.11.2.4

Bagilah $12$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.12

Kalikan $7$ dengan $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.13

Untuk menuliskan $84$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 \cdot \frac{3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.14

Gabungkan $84$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + \frac{84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.16

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.16.1

Kalikan $84$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 252}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.16.2

Tambahkan $248$ dan $252$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.17

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4 \cdot 1)$

Langkah 14.4.18

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4)$

Langkah 14.4.19

Tambahkan $- 20$ dan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16)$

Langkah 14.4.20

Untuk menuliskan $- 16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 14.4.21

Gabungkan $- 16$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3})$

Langkah 14.4.22

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 16 \cdot 3}{3})$

Langkah 14.4.23

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.23.1

Kalikan $- 16$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 48}{3})$

Langkah 14.4.23.2

Kurangi $48$ dengan $500$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{452}{3})$

Langkah 15

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{452}{3}$

Langkah 16

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Faktorkan $4$ dari $452$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (113)}{3}$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 113}{3}$

Langkah 16.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{113}{3}$

Langkah 17