Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7$ , $(0, 4)$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 4]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Langkah 9

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 7 x]_{0}^{4})$

Langkah 13.3

Evaluasi $- 7 x$ pada $4$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $256$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.2.2.4

Bagilah $64$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.4.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 + 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.6

Tambahkan $64$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \cdot 64 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.7

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.10.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} + 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.12

Tambahkan $\frac{64}{3}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.13

Gabungkan $12$ dan $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{12 \cdot 64}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.14

Kalikan $12$ dengan $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{768}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.15

Hapus faktor persekutuan dari $768$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.15.1

Faktorkan $3$ dari $768$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.15.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 (1)} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 \cdot 1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{256}{1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.15.2.4

Bagilah $256$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 256 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.16

Tambahkan $128$ dan $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.17

Kalikan $- 7$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 7 \cdot 0)$

Langkah 13.4.18

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 0)$

Langkah 13.4.19

Tambahkan $- 28$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28)$

Langkah 13.4.20

Kurangi $28$ dengan $384$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (356)$

Langkah 14

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 356$

Langkah 14.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 356$

Langkah 15

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $4$ dari $356$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (89))$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 89)$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 89$

Langkah 16