Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , $[- 1, 11]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 11]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} - 4 x + 5 d x)$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Langkah 6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \int_{- 1}^{11} x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Langkah 9

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 \int_{- 1}^{11} x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Langkah 12

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Langkah 13

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $11$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Langkah 13.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $11$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Langkah 13.3

Evaluasi $5 x$ pada $11$ dan pada $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Naikkan $11$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{- 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.5

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331 + 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.7

Tambahkan $1331$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1332}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8

Hapus faktor persekutuan dari $1332$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.8.1

Faktorkan $3$ dari $1332$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 (1)}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{444}{1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.8.2.4

Bagilah $444$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \cdot 444 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.9

Kalikan $2$ dengan $444$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.10

Naikkan $11$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.11

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{121 - 1}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.13

Kurangi $1$ dengan $121$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{120}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.14

Hapus faktor persekutuan dari $120$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.14.1

Faktorkan $2$ dari $120$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 (1)} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{60}{1}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.14.2.4

Bagilah $60$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \cdot 60 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.15

Kalikan $- 4$ dengan $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 240 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.16

Kurangi $240$ dengan $888$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.17

Kalikan $5$ dengan $11$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 - 5 \cdot - 1)$

Langkah 13.4.18

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 + 5)$

Langkah 13.4.19

Tambahkan $55$ dan $5$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 60)$

Langkah 13.4.20

Tambahkan $648$ dan $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (708)$

Langkah 14

Tambahkan $11$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot 708$

Langkah 15

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Faktorkan $12$ dari $708$ .

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 (59))$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 59)$

Langkah 15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 59$

Langkah 16