Kalkulus Contoh

$f (x) = 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4$ , $[- 2, 0]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 2, 0]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

Langkah 5.2

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - x^{2} + 4 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 x]_{- 2}^{0})$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0}$ dan $4 x]_{- 2}^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4} + 4 x]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

Langkah 12.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x$ pada $0$ dan pada $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

Langkah 12.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $0$ dan pada $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.4

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.5

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot 16 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{16}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.7.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.7.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4}{1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.7.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.8

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 - 8) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.9

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.11

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.12

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.13.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.13.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.13.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 12.2.3.14

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{- 8}{3}))$

Langkah 12.2.3.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

Langkah 12.2.3.16

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + 1 (\frac{8}{3})))$

Langkah 12.2.3.17

Kalikan $\frac{8}{3}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

Langkah 12.2.3.18

Tambahkan $0$ dan $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - \frac{8}{3})$

Langkah 12.2.3.19

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 12.2.3.20

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Langkah 12.2.3.21

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3 - 8}{3})$

Langkah 12.2.3.22

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.22.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{12 - 8}{3})$

Langkah 12.2.3.22.2

Kurangi $8$ dengan $12$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4}{3})$

Langkah 13

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3}$

Langkah 14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3}$

Langkah 14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{2}{3}$

Langkah 15