Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{10}{x + 1}$ , $[0, 9]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[0, 9]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{10}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur penyebut dalam $\frac{10}{x + 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 1 = 0$

Langkah 1.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 1}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 1}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 9]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} \frac{10}{x + 1} d x)$

Langkah 5

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $10$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{0}^{9} \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 6

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 6.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 6.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 9 + 1$

Langkah 6.5

Tambahkan $9$ dan $1$ .

$u_{upper} = 10$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 10$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \int_{1}^{10} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 7

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| u |)]_{1}^{10}))$

Langkah 8

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $10$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |)))$

Langkah 9

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |}))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $10$ adalah $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{| 1 |}))$

Langkah 10.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (\frac{10}{1}))$

Langkah 10.3

Bagilah $10$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (10 \ln (10))$

Langkah 11

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot (10 \ln (10))$

Langkah 11.2

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (10 \ln (10))$

Langkah 12

Sederhanakan $10 \ln (10)$ dengan memindahkan $10$ ke dalam logaritma.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10^{10})$

Langkah 13

Naikkan $10$ menjadi pangkat $10$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot \ln (10000000000)$

Langkah 14

Sederhanakan $\frac{1}{9} \ln (10000000000)$ dengan memindahkan $\frac{1}{9}$ ke dalam logaritma.

$A (x) = \ln (10000000000^{\frac{1}{9}})$

Langkah 15