Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , $[0, 3]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[0, 3]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{1 + x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$1 + x \geq 0$

Langkah 1.2

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq - 1$

Langkah 1.3

Atur penyebut dalam $\frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt{1 + x} = 0$

Langkah 1.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + x}$ sebagai ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 + x)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Sederhanakan.

$1 + x = 0^{2}$

Langkah 1.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$1 + x = 0$

Langkah 1.4.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > - 1}$

Notasi Interval:

$(- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > - 1}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 3]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x)$

Langkah 5

Biarkan $u = 1 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 5.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Langkah 5.5

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Langkah 6.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Langkah 6.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Langkah 6.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Langkah 6.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 8.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 8.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 8.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 8.2.4

Evaluasi eksponennya.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 8.2.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 8.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2 \cdot 1)$

Langkah 8.2.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (4 - 2)$

Langkah 8.2.8

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (2)$

Langkah 9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 2$

Langkah 9.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 2$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$A (x) = \frac{2}{3}$

Langkah 11