Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[0, 5]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 6}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 6}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[0, 5]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

Langkah 5

Biarkan $u = x - 6$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = x - 6$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Langkah 5.1.4

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Langkah 5.3

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

Langkah 5.5

Kurangi $6$ dengan $5$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Langkah 6

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

Langkah 6.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $- u^{- 1}$ pada $- 1$ dan pada $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Langkah 8.2.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

Langkah 8.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Langkah 8.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

Langkah 8.2.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

Langkah 8.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

Langkah 8.2.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

Langkah 8.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

Langkah 8.2.9

Kurangi $1$ dengan $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

Langkah 9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

Langkah 9.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Langkah 10

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Langkah 10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{6}$

Langkah 11