Kalkulus Contoh

$0.0000329 t^{3} - 0.0045 t^{2} + 0.0514 t + 2.34$

Langkah 1

Tulis $0.0000329 t^{3} - 0.0045 t^{2} + 0.0514 t + 2.34$ sebagai fungsi.

$f (t) = 0.0000329 t^{3} - 0.0045 t^{2} + 0.0514 t + 2.34$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $0.0000329 t^{3} - 0.0045 t^{2} + 0.0514 t + 2.34$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [0.0000329 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 0.0045 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$ .

$\frac{d}{d t} [0.0000329 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 0.0045 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d t} [0.0000329 t^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $0.0000329$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $0.0000329 t^{3}$ terhadap $t$ adalah $0.0000329 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$0.0000329 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 0.0045 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0.0000329 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 0.0045 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $0.0000329$ .

$0.0000987 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 0.0045 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- 0.0045 t^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 0.0045$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 0.0045 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $- 0.0045 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.0045 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.0045 (2 t) + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 0.0045$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.009 t + \frac{d}{d t} [0.0514 t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d t} [0.0514 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $0.0514$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $0.0514 t$ terhadap $t$ adalah $0.0514 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $0.0514$ dengan $1$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514 + \frac{d}{d t} [2.34]$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Karena $2.34$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2.34$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514$ dan $0$ .

$f' (t) = 0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (t)$ terhadap $t$ adalah $0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514 = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $0.0000001$ dari $0.0000987 t^{2} - 0.009 t + 0.0514$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $0.0000001$ dari $0.0000987 t^{2}$ .

$0.0000001 (987 t^{2}) - 0.009 t + 0.0514 = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $0.0000001$ dari $- 0.009 t$ .

$0.0000001 (987 t^{2}) + 0.0000001 (- 90000 t) + 0.0514 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $0.0000001$ dari $0.0514$ .

$0.0000001 (987 t^{2}) + 0.0000001 (- 90000 t) + 0.0000001 (514000) = 0$

Langkah 3.2.4

Faktorkan $0.0000001$ dari $0.0000001 (987 t^{2}) + 0.0000001 (- 90000 t)$ .

$0.0000001 (987 t^{2} - 90000 t) + 0.0000001 (514000) = 0$

Langkah 3.2.5

Faktorkan $0.0000001$ dari $0.0000001 (987 t^{2} - 90000 t) + 0.0000001 (514000)$ .

$0.0000001 (987 t^{2} - 90000 t + 514000) = 0$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $0.0000001 (987 t^{2} - 90000 t + 514000) = 0$ dengan $0.0000001$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $0.0000001 (987 t^{2} - 90000 t + 514000) = 0$ dengan $0.0000001$ .

$\frac{0.0000001 (987 t^{2} - 90000 t + 514000)}{0.0000001} = \frac{0}{0.0000001}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $0.0000001$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{0.0000001 (987 t^{2} - 90000 t + 514000)}{0.0000001} = \frac{0}{0.0000001}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $987 t^{2} - 90000 t + 514000$ dengan $1$ .

$987 t^{2} - 90000 t + 514000 = \frac{0}{0.0000001}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $0.0000001$ .

$987 t^{2} - 90000 t + 514000 = 0$

Langkah 3.4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5

Substitusikan nilai-nilai $a = 987$ , $b = - 90000$ , dan $c = 514000$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $t$ .

$\frac{90000 \pm \sqrt{{(- 90000)}^{2} - 4 \cdot (987 \cdot 514000)}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Naikkan $- 90000$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 4 \cdot 987 \cdot 514000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 987 \cdot 514000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $987$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 3948 \cdot 514000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6.1.2.2

Kalikan $- 3948$ dengan $514000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 2029272000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6.1.3

Kurangi $2029272000$ dengan $8100000000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{6070728000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6.1.4

Tulis kembali $6070728000$ sebagai $40^{2} \cdot 3794205$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.4.1

Faktorkan $1600$ dari $6070728000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{1600 (3794205)}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6.1.4.2

Tulis kembali $1600$ sebagai $40^{2}$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{40^{2} \cdot 3794205}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$t = \frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $987$ .

$t = \frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{1974}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan $\frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{1974}$ .

$t = \frac{45000 \pm 20 \sqrt{3794205}}{987}$

Langkah 3.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Naikkan $- 90000$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 4 \cdot 987 \cdot 514000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 987 \cdot 514000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $987$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 3948 \cdot 514000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.7.1.2.2

Kalikan $- 3948$ dengan $514000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 2029272000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.7.1.3

Kurangi $2029272000$ dengan $8100000000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{6070728000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.7.1.4

Tulis kembali $6070728000$ sebagai $40^{2} \cdot 3794205$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.4.1

Faktorkan $1600$ dari $6070728000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{1600 (3794205)}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.7.1.4.2

Tulis kembali $1600$ sebagai $40^{2}$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{40^{2} \cdot 3794205}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.7.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$t = \frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $987$ .

$t = \frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{1974}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{1974}$ .

$t = \frac{45000 \pm 20 \sqrt{3794205}}{987}$

Langkah 3.7.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$t = \frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}$

Langkah 3.8

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Naikkan $- 90000$ menjadi pangkat $2$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 4 \cdot 987 \cdot 514000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.8.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 987 \cdot 514000$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $987$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 3948 \cdot 514000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.8.1.2.2

Kalikan $- 3948$ dengan $514000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{8100000000 - 2029272000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.8.1.3

Kurangi $2029272000$ dengan $8100000000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{6070728000}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.8.1.4

Tulis kembali $6070728000$ sebagai $40^{2} \cdot 3794205$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.4.1

Faktorkan $1600$ dari $6070728000$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{1600 (3794205)}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.8.1.4.2

Tulis kembali $1600$ sebagai $40^{2}$ .

$t = \frac{90000 \pm \sqrt{40^{2} \cdot 3794205}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.8.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$t = \frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{2 \cdot 987}$

Langkah 3.8.2

Kalikan $2$ dengan $987$ .

$t = \frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{1974}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan $\frac{90000 \pm 40 \sqrt{3794205}}{1974}$ .

$t = \frac{45000 \pm 20 \sqrt{3794205}}{987}$

Langkah 3.8.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$t = \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}$

Langkah 3.9

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$t = \frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}$ .

$\frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $t$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}) \cup (\frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}, \frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}) \cup (\frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $t$ dengan $5.1221495$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5.1221495) = 0.0000987 {(5.1221495)}^{2} - 0.009 \cdot 5.1221495 + 0.0514$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $5.1221495$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (5.1221495) = 0.0000987 \cdot 26.2364155 - 0.009 \cdot 5.1221495 + 0.0514$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $0.0000987$ dengan $26.2364155$ .

$f' (5.1221495) = 0.00258953 - 0.009 \cdot 5.1221495 + 0.0514$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 0.009$ dengan $5.1221495$ .

$f' (5.1221495) = 0.00258953 - 0.04609934 + 0.0514$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $0.04609934$ dengan $0.00258953$ .

$f' (5.1221495) = - 0.04350981 + 0.0514$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 0.04350981$ dan $0.0514$ .

$f' (5.1221495) = 0.00789018$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.00789018$ .

$0.00789018$

Langkah 6.3

Pada $t = 5.1221495$ , turunannya adalah $0.00789018$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987})$ karena $f' (t) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(6.1221495, \frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $t$ dengan $45.59270475$ pada pernyataan tersebut.

$f' (45.59270475) = 0.0000987 {(45.59270475)}^{2} - 0.009 \cdot 45.59270475 + 0.0514$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $45.59270475$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (45.59270475) = 0.0000987 \cdot 2078.69472642 - 0.009 \cdot 45.59270475 + 0.0514$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $0.0000987$ dengan $2078.69472642$ .

$f' (45.59270475) = 0.20516716 - 0.009 \cdot 45.59270475 + 0.0514$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 0.009$ dengan $45.59270475$ .

$f' (45.59270475) = 0.20516716 - 0.41033434 + 0.0514$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $0.41033434$ dengan $0.20516716$ .

$f' (45.59270475) = - 0.20516717 + 0.0514$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $- 0.20516717$ dan $0.0514$ .

$f' (45.59270475) = - 0.15376717$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.15376717$ .

$- 0.15376717$

Langkah 7.3

Pada $t = 45.59270475$ , turunannya adalah $- 0.15376717$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(6.1221495, \frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987})$ .

Menurun pada $(\frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}, \frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987})$ karena $f' (t) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $t$ dengan $86.06326$ pada pernyataan tersebut.

$f' (86.06326) = 0.0000987 {(86.06326)}^{2} - 0.009 \cdot 86.06326 + 0.0514$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $86.06326$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (86.06326) = 0.0000987 \cdot 7406.88472182 - 0.009 \cdot 86.06326 + 0.0514$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $0.0000987$ dengan $7406.88472182$ .

$f' (86.06326) = 0.73105952 - 0.009 \cdot 86.06326 + 0.0514$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 0.009$ dengan $86.06326$ .

$f' (86.06326) = 0.73105952 - 0.77456934 + 0.0514$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $0.77456934$ dengan $0.73105952$ .

$f' (86.06326) = - 0.04350981 + 0.0514$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $- 0.04350981$ dan $0.0514$ .

$f' (86.06326) = 0.00789018$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.00789018$ .

$0.00789018$

Langkah 8.3

Pada $t = 86.06326$ , turunannya adalah $0.00789018$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \infty)$ karena $f' (t) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, \frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}), (\frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987}, \infty)$

Menurun pada: $(\frac{45000 - 20 \sqrt{3794205}}{987}, \frac{45000 + 20 \sqrt{3794205}}{987})$

Langkah 10