Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}$

Langkah 1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}$

Langkah 1.5.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.6

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{4}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Langkah 2.6.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Langkah 2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Langkah 2.8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 2.9

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Langkah 2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Langkah 2.10.2

Pindahkan $x^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}$

Langkah 4.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 4.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 4.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}$

Langkah 4.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.1.6

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagi setiap suku pada $4 x^{\frac{1}{3}} = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{\frac{1}{3}} = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 5.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 5.3.1.2.2

Bagilah $x^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{0}{4}$

Langkah 5.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

Langkah 5.3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $3$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.3.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 5.3.3.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{3}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{3}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$\frac{4}{0}$

Langkah 9.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{4}{0}$

Langkah 9.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 10

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 10.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, \infty)$ dalam turunan pertama $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.1.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.1.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1.6.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.1.6.2

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3}$

Langkah 10.3.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3}$

Langkah 10.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah minimum lokal.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 11