Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} y - 2 x y + 2 y^{2} - 15 y$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y - 2 x y + 2 y^{2} - 15 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 y x - 2 y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 1.4.2

Karena $- 15 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 15 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y x - 2 y + 0 + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Tambahkan $2 y x - 2 y$ dan $0$ .

$2 y x - 2 y + 0$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $2 y x - 2 y$ dan $0$ .

$2 y x - 2 y$

Langkah 1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$2 x y - 2 y$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x y) + \frac{d}{d x} (- 2 y)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 y)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 y)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 y + \frac{d}{d x} (- 2 y)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 y + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 y$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$2 x y - 2 y = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 y x - 2 y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 15 y]$

Langkah 4.1.4.2

Karena $- 15 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 15 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y x - 2 y + 0 + 0$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1.1

Tambahkan $2 y x - 2 y$ dan $0$ .

$2 y x - 2 y + 0$

Langkah 4.1.5.1.2

Tambahkan $2 y x - 2 y$ dan $0$ .

$2 y x - 2 y$

Langkah 4.1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x y - 2 y$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x y - 2 y$ .

$2 x y - 2 y$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x y - 2 y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 x y - 2 y = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x y = 2 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 x y = 2 y$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x y = 2 y$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 x y}{2 y} = \frac{2 y}{2 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x y}{2 y} = \frac{2 y}{2 y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y}{y} = \frac{2 y}{2 y}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{y} = \frac{2 y}{2 y}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 y}{2 y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 y}{2 y}$

Langkah 5.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{y}{y}$

Langkah 5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{y}{y}$

Langkah 5.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 1$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 1$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 y$

Langkah 9

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 10