Kalkulus Contoh

$f (x) = 1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 {(x - 5)}^{5} + (x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

$\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [1 {(x - 5)}^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan ${(x - 5)}^{5}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{5}] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.5

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.2.7

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4} (1))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [(x - 1) (5 {(x - 1)}^{4})]$

Langkah 1.3.2

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{4})]$

Langkah 1.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{1 + 4}]$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{5}]$

Langkah 1.3.5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 {(x - 1)}^{5}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{5}]$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Langkah 1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Langkah 1.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Langkah 1.3.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} (1 + 0))$

Langkah 1.3.10

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4} \cdot 1)$

Langkah 1.3.11

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Langkah 1.3.12

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$

Langkah 1.4

Faktorkan $5$ dari $5 {(x - 5)}^{4} + 25 {(x - 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $5$ dari $5 {(x - 5)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 25 {(x - 1)}^{4}$

Langkah 1.4.2

Faktorkan $5$ dari $25 {(x - 1)}^{4}$ .

$5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$

Langkah 1.4.3

Faktorkan $5$ dari $5 ({(x - 5)}^{4}) + 5 (5 {(x - 1)}^{4})$ .

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4})$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{4}] + \frac{d}{d x} [5 {(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{4}) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 5) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.3.3

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + \frac{d}{d x} (5 {(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.3.5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 {(x - 1)}^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{4}))$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 5 (4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 ({(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)))$

Langkah 2.5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Langkah 2.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))$

Langkah 2.5.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} (1 + 0))$

Langkah 2.5.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Langkah 2.5.5.2

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3} + 20 {(x - 1)}^{3})$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 5 (4 {(x - 5)}^{3}) + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Langkah 2.6.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 5 (20 {(x - 1)}^{3})$

Langkah 2.6.3

Kalikan $20$ dengan $5$ .

$f'' (x) = 20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$

Langkah 2.6.4

Faktorkan $20$ dari $20 {(x - 5)}^{3} + 100 {(x - 1)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Faktorkan $20$ dari $20 {(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 100 {(x - 1)}^{3}$

Langkah 2.6.4.2

Faktorkan $20$ dari $100 {(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$

Langkah 2.6.4.3

Faktorkan $20$ dari $20 ({(x - 5)}^{3}) + 20 (5 {(x - 1)}^{3})$ .

$f'' (x) = 20 ({(x - 5)}^{3} + 5 {(x - 1)}^{3})$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$5 ({(x - 5)}^{4} + 5 {(x - 1)}^{4}) = 0$

Langkah 4

Karena tidak ada nilai dari $x$ yang membuat turunan pertama sama dengan $0$ , maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 5

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 6