Kalkulus Contoh

$f (x) = x e^{x + y}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x + y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Langkah 1.3.6

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x + y} + e^{x + y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x + y}) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x + y}) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + y$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + y$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.5

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.8

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.2.9

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x + y)$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x + y)$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))$

Langkah 2.3.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + 0)$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Langkah 2.3.6

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $e^{x + y}$ dan $e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Langkah 2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$

Langkah 2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3.4.2

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Langkah 4.1.3.6

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $e^{x + y}$ dari $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $e^{x + y}$ dari $x e^{x + y}$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} = 0$

Langkah 5.2.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1 = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $e^{x + y}$ dari $e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1$ .

$e^{x + y} (x + 1) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x + y} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 5.4

Atur $e^{x + y}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur $e^{x + y}$ sama dengan $0$ .

$e^{x + y} = 0$

Langkah 5.4.2

Selesaikan $e^{x + y} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (0)$

Langkah 5.4.2.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Perluas $\ln (e^{x + y})$ dengan memindahkan $x + y$ ke luar logaritma.

$(x + y) \ln (e) = \ln (0)$

Langkah 5.4.2.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (0)$

Langkah 5.4.2.2.3

Kalikan $x + y$ dengan $1$ .

$x + y = \ln (0)$

Langkah 5.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan karena tidak terdefinisi.

$Tidak terdefinisi$

Langkah 5.4.2.4

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = Undefined - y$

Langkah 5.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 5.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x + y} (x + 1) = 0$ benar.

$x = - 1$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 1$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$(- 1) e^{(- 1) + y} + 2 e^{(- 1) + y}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $- 1 e^{- 1 + y}$ sebagai $- e^{- 1 + y}$ .

$- e^{- 1 + y} + 2 e^{- 1 + y}$

Langkah 9.2

Tambahkan $- e^{- 1 + y}$ dan $2 e^{- 1 + y}$ .

$e^{- 1 + y}$

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11