Kalkulus Contoh

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $0.3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.3 x^{1.25}$ terhadap $x$ adalah $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $1.25$ dengan $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1.5 x$ terhadap $x$ adalah $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1.5$ dengan $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $88.6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $88.6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $0.375 x^{0.25} - 1.5$ dan $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $0.375 x^{0.25} - 1.5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $0.375$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.375 x^{0.25}$ terhadap $x$ adalah $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $0.25$ dengan $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Langkah 2.3

Karena $- 1.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1.5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $0.09375$ dan $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $0.3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.3 x^{1.25}$ terhadap $x$ adalah $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $1.25$ dengan $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 1.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1.5 x$ terhadap $x$ adalah $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $- 1.5$ dengan $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $88.6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $88.6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $0.375 x^{0.25} - 1.5$ dan $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $1.5$ ke kedua sisi persamaan.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $0.375 x^{0.25} = 1.5$ dengan $0.375$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $0.375 x^{0.25} = 1.5$ dengan $0.375$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $0.375$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $x^{0.25}$ dengan $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah $1.5$ dengan $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

Langkah 5.4

Ubah eksponen desimal menjadi pangkat pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Ubah bilangan desimal menjadi pecahan dengan menempatkan bilangan desimal di atas pangkat sepuluh. Karena ada $2$ bilangan di sebelah kanan titik desimal, tempatkan bilangan desimal di atas $10^{2}$ $(100)$ . Selanjutnya, tambahkan bilangan bulat ke sebelah kiri titik desimal.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

Langkah 5.4.2

Kurangi pecahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Ubah $0 \frac{25}{100}$ ke pecahan tidak sejati.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Bilangan campuran adalah penjumlahan dari bagian bilangan bulat dan pecahannya.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

Langkah 5.4.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

Langkah 5.4.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $25$ dan $100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $25$ .

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

Langkah 5.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $100$ .

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Langkah 5.4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Langkah 5.4.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

Langkah 5.5

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $\frac{1}{0.25}$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Langkah 5.6

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Langkah 5.6.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $0.25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1.2.1

Faktorkan $0.25$ dari $1$ .

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Langkah 5.6.1.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Langkah 5.6.1.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Langkah 5.6.1.1.1.3

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Langkah 5.6.1.1.2

Sederhanakan.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Sederhanakan $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Bagilah $1$ dengan $0.25$ .

$x = 4^{4}$

Langkah 5.6.2.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$x = 256$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Ubah $0.25$ ke dalam pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kalikan dengan $\frac{100}{100}$ untuk menghilangkan komanya.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

Langkah 6.1.1.2

Kalikan $100$ dengan $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

Langkah 6.1.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $25$ dan $100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Faktorkan $25$ dari $25$ .

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

Langkah 6.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Faktorkan $25$ dari $100$ .

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Langkah 6.1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Langkah 6.1.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

Langkah 6.1.2

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

Langkah 6.1.3

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

Langkah 6.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt[4]{x}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x < 0$

Langkah 6.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 256$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 256$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Naikkan $256$ menjadi pangkat $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

Langkah 9.2

Bagilah $0.09375$ dengan $64$ .

$0.00146484$

Langkah 10

$x = 256$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 256$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 256$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $256$ pada pernyataan tersebut.

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Naikkan $256$ menjadi pangkat $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $0.3$ dengan $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $- 1.5$ dengan $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Kurangi $384$ dengan $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $- 76.8$ dan $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $11.8$ .

$y = 11.8$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ adalah minimum lokal

Langkah 13